Question

已知函数fx=4∧x+1/2∧x和函数gx=2∧x-2∧-x,若函数hx=fx+λgx是r上的增

数,求λ的范围

Answer 1

设u=2^x>0,则f(x)=u^2+1/u,g(x)=u-1/u,
h(x)=f(x)+λg(x)是R上的增函数，因2^x是增函数，故

H(u)=u^2+1/u+λ(u-1/u)=u^2+λu+(1-λ)/u(u>0)是增函数，

∴H'(u)=2u+λ+(λ-1)/u^2>=0,

∴G(u)=2u^3+λu^2+λ-1>=0,

G(0+)→λ-1>=0,

∴λ>=1,此时G(u)>=0恒成立，H'(u)>=0,H(u)是增函数，h(x)是增函数。

∴λ的取值范围是[1,+∞).

Answer 2

设u=2^x>0,则f(x)=u^2+1/u,g(x)=u-1/u,
h(x)=f(x)+λg(x)是R上的增函数，因2^x是增函数，故
H(u)=u^2+1/u+λ(u-1/u)=u^2+λu+(1-λ)/u(u>0)是增函数，
∴H'(u)=2u+λ+(λ-1)/u^2>=0,
∴G(u)=2u^3+λu^2+λ-1>=0,
G(0+)→λ-1>=0,
∴λ>=1,此时G(u)>=0恒成立，H'(u)>=0,H(u)是增函数，h(x)是增函数。
∴λ的取值范围是[1,+∞).