Question

如图，已知点F为抛物线C1：y2=4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线C1于A，C，B，

如图，已知点F为抛物线C1：y2=4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线C1于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点．（Ⅰ）当直线AC的斜率为2时，求直线EG的方程；（Ⅱ）直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵F为抛物线C₁：y²=4x的焦点，∴F（1，0），
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），当直线AC的斜率为2时，
直线AC的方程为x=

1

2

y+1，
代入抛物线C₁的方程，得y²-2y-4=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2，∴x1+x2=(

1

2

y1+1)+(

1

2

y2+1)=3，
∴AC的中点坐标E（

3

2

，1），
由AC⊥BD，得直线BD的方程为x=-2y+1，
同理，得BD的中点坐标为G（9，-4），
由E（

3

2

，1），G（9，-4）得直线EG的方程为2x+3y-6=0．
（Ⅱ）直线EG过定点（3，0），设A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
直线AC的方程为x=my+1，代入抛物线C₁的方程，得y²-4my-4=0，
则y₃+y₄=4m，
∴x3+x4=my3+1+my4+1=4m2+2，
∴AC的中点坐标为E（2m²+1，2m），
由AC⊥BD，得BD的中点坐标为G（

2

m2

+1，-

2

m

），
令2m²+1=

2

m2

+1，得m²=1，此时2m²+1=

2

m2

+1=3，
故直线过点H（3，0），
当m²≠1时，kHE=

2m-0

2m2+1-3

=

m

m2-1

，
同理kHG=

- 2 m -0

2 m2 +1-3

=

m

m2-1

，
∴k_HE=k_HG，
∴E，H，G三点共线，
故直线过定点H（3，0）．