Question

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；（Ⅱ）若过点P作斜率为k（k≠±ba）的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．

Answer 1

（1）设P（m，n），又A（-a，0），B（a，0），
则k_PA=

n

m+a

，k_PB=

n

m?a

，
∵k_PA?k_PB=

1

2

，∴

n

m+a

?

n

m?a

=

1

2

，
即m²-2n²=a²，又

m2

a2

?

n2

b2

＝1，
∴b²=

1

2

a²，即c²-a²=

1

2

a²，e²=

3

2

，
即e=

6

2

；
（2）∵l与双曲线有且只有一个公共点，且l的斜率k（k≠±

b

a

）即l不平行于渐近线，
∴P为切点，
∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点M（x₀，y₀）的切线方程为

x0x

a2

?

y0y

b2

=1
∴直线l的方程为

mx

a2

?

ny

b2

=1即mx-2ny=2b²即k=

m

2n

，
又

1

k1

=

m+c

n

，

1

k2

=

m?c

n?0

，
∴

1

k1

+

1

k2

=

2m

n

故存在λ=4，使得

1

k1

+

1

k2

=4k．