Question

设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点

设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；（2）如果函数f（x）在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于2e3，求a的值；（3）在（2）的条件下，当x∈[e，e2]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）求导得f'（x）=2（x-a）lnx+

(x?a)2

x

=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）．
因为x=e是f（x）的极值点，所以f'（e）=(e?a)(3?

a

e

)＝0，解得a=e或a=3e，经检验，a=3e，符合题意．（要有检验过程）
（2）f'（x）=2（x-a）lnx+

(x?a)2

x

，
当x=e时，f'（e）=2（e-a）+

(e?a)2

e

，f（e）=（e-a）²lne=（e-a）²，
所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-（e-a）²=[2（e-a）+

(e?a)2

e

]（x-e），
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（

2e2

3e?a

，0），（0，-2e（e-a）），
∴所求面积为

1

2

×|

2e2

3e?a

|×|?2e(e?a)|＝2e3．
解之得，a=2e．
（3）在（2）的条件a=2e下，
f（x）=（x-2e）²lnx，f'（x）=2（x-2e）lnx+

(x?2e)2

x

，
对于x∈[e，2e]，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[e，2e]上为减函数．
对于x∈[2e，e²]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[2e，e²]上为增函数．
∴f(x)max＝f(e2)＝2e2(e?2)2，f(x)min＝f(2e)＝0．