Question

设A=（aij）是三阶非零矩阵，|A|为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足Aij+aij=0（i，j=1，2，3

设A=（aij）是三阶非零矩阵，|A|为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足Aij+aij=0（i，j=1，2，3），则|A|=______．

Answer 1

由条件A_ij+a_ij=0（i，j=1，2，3），可知A+A^*T=0，其中A^*为A的伴随矩阵，从而可知
|A^*|=|A^*T|=|A|^3-1=（-1）³|A|，所以|A|可能为-1或0．
但由结论r(A*)＝

n， r(A)＝n 1， r(A)＝n?1 0， r(A)＜n?1

可知，A+A^*T=0可知r（A）=r（A^*），伴随矩阵的秩只能为3，所以|A|=-1
故答案为：-1．