Question

牛顿-莱布尼茨公式怎么证明？

Answer 1

证明过程如下：

设F(x)在区间(a,b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1,x2,?xi?x(n-1)，记a=x0，b=xn，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3?)

当Δx很小时：

F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx

F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx

??

F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx

所以：

F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+?+ F’(xn)*Δx

当n→+∞时，∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)

扩展资料：

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。

牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。

牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。

参考资料来源：百度百科-牛顿-莱布尼茨公式