已知x+y=1,y>0,x不等于0

则1/(2|x|)+|x|/(y+1)的最小值为... 则1/(2|x|)+|x|/(y+1)的最小值为 展开
christcha
2014-11-15 · TA获得超过3974个赞
知道大有可为答主
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y>0 => x<1,且x≠0,分两种情况
① 0<x<1时,1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1/(2|x|)+|x|/(2-|x|)
=[|x|+(2-|x|)]/(4|x|)+|x|/(2-|x|)
=1/4+(2-|x|)/(4x|)+|x|/(2-|x|),由均值不等式得
≥1/4+2√1/4=5/4,当x=2/3时取到此时的最小值5/4
② x<0时,1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1/(2|x|)+|x|/(2+|x|)
=1+1/(2|x|)-2/(2+|x|)。令z=1/(2|x|)-2/(2+|x|),得
2z|x|²+(4z+3)|x|-2=0,看做是|x|的二次函数,且有正根
则△=(4z+3)²+16z≥0 => (4z+1)(4z+9)≥0 => z≥-1/4或z≤-9/4
而z≤-9/4时,两根之和=-(4z+3)/(2z)<0,两根之积=-2/(2z)>0
∴此时两根均为负数,即没有正根,∴z≤-9/4不成立
∴z≥-1/4,且|x|=2时,z取到最小值-1/4
∴此时有1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1+z≥1-1/4=3/4,x=-2时取到此时最小值3/4
综上两种情况知1/(2|x|)+|x|/(y+1)的最小值为3/4,此时x=-2,y=3
追问
老师,既然讨论x<0,0<x<1 为什么不去掉绝对值?
追答
∵题中有两个|x|,而所求的式子为1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1/(2|x|)+|x|/(2-x)
那么只需要把x用|x|来表示,使得式子的未知量统一便可
去绝对值把|x|变成x,或则把x变成|x|的形式,都是可以的
这里我选择的处理方法是后者,即x0时,x=|x|
如果你不习惯的话,就把|x|全部变成x也是一样的,但要注意变号即可
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