Question

已知椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，向量 ， ，且 ．（1）求椭圆的方程

已知椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，向量 ， ，且 ．（1）求椭圆的方程；（2）当直线 过椭圆的焦点 （ 为半焦距）时，求直线 的斜率 .

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Answer 1

（1） （2）

试题分析：（1）将点 代入椭圆方程，并与 和 联立，解方程组可得 的值。（2）由（1）知 ， ，则 ， 。则可设 的方程为 ，与椭圆方程联立消去 整理为关于 的一元二次方程，可得根与系数的关系。因为 所以 ，根据数量积公式可得 的关系式，将所得的根与系数的关系代入上式可求得 。 （1）∵   ∴ ∴椭圆的方程为 （5分） （2）依题意，设 的方程为 , 由   显然 ,（8分） , 由已知 得： （12分） ,解得