Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -2，（n=1，2，3…）（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -2，（n=1，2，3…）（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记S n =1?a 1 +3?a 2 +…+（2n-1）a n ，求S n ．

Answer 1

（1）∵S n =2a n -2， ∴当n≥2时，S n-1 =2a n-1 -2， a n =S n -S n-1 =2a n -2-（2a n-1 -2）…..（2分） 即a n =2a n -2a n-1 ，即a n =2a n-1 ， ∵a n ≠0 ∴ a n a n-1 =2…（4分） ∵a 1 =S 1 ， ∴a 1 =2a 1 -2，即a 1 =2 ∴a n =2 n     …（6分） （2）S n =1?a 1 +3?a 2 +…+（2n-1）a n =1×2+3×2 2 +5×2 3 +…+（2n-1）×2 n  ①…（7分） ∴2S n =1×2 2 +3×2 3 +…+（2n-3）×2 n +（2n-1）×2 n+1  ②…（8分） ①-②得-S n =1×2+（2×2 2 +2×2 3 +…+2×2 n  ）-（2n-1）×2 n+1  …（9分） 即-S n =1×2+（2 3 +2 4 +…+2 n+1  ）-（2n-1）×2 n+1        …（10分） ∴S n =（2n-3）2 n+1 +6                  …..（12分）