Question

（2008?杭州）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交B

（2008?杭州）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，求∠ACB的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．

（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，

∠ACE＝∠BCF AC＝BC ∠CAE＝∠CBF

，
∴△ACE≌△BCF（ASA）．
∴AE=BF．

（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S_△ABC=S_△ABG．
∴AE=AC．
①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠ACB为锐角时，∠CAH=90°-

1

2

∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，
此时，∠CAE=180°-2∠ACB，
只须180°-2∠ACB＜90°-

1

2

∠ACB，
解得：60°＜∠ACB＜90°．