Question

平面内有 n ( n ∈N ＋ ， n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数 f

平面内有 n ( n ∈N ＋ ， n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数 f ( n )＝ .

Answer 1

见解析

(1)当 n ＝2时，两条直线的交点只有一个， 又 f (2)＝ ×2×(2－1)＝1， ∴当 n ＝2时，命题成立． (2)假设 n ＝ k ，∈N ＋ ，且( k >2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数 f ( k )＝ k ( k －1)， 那么，当 n ＝ k ＋1时，任取一条直线 l ，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f ( k )＝ k ( k －1)， l 与其他 k 条直线交点个数为 k ，从而 k ＋1条直线共有 f ( k )＋ k 个交点， 即 f ( k ＋1)＝ f ( k )＋ k ＝ k ( k －1)＋ k ＝ k ( k －1＋2)＝ k ( k ＋1)＝  ( k ＋1)[( k ＋1)－1]， 这表明，当 n ＝ k ＋1时，命题成立． 由(1)、(2)可知，对 n ∈N ＋ ( n ≥2)命题都成立．