Question

已知函数f（x）=x-1-alnx，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＜0，对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，

已知函数f（x）=x-1-alnx，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＜0，对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜4|1x1-1x2|，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)＝1?

a

x

＝

x?a

x

，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f'（x）＞0解得x＞a；由f'（x）＜0解得0＜x＜a，
此时，函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；f（x）在（0，a）上是减函数．
（Ⅱ）当a≤0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，
又函数y＝

1

x

在（0，1]上是减函数，不妨设0＜x₁＜x₂≤1，
则|f(x1)?f(x2)|＝f(x2)?f(x1)，|

1

x1

?

1

x2

|＝

1

x1

?

1

x2

，
所以|f(x1)?f(x2)|＜4|

1

x1

?

1

x2

|等价于f(x2)?f(x1)＜

4

x1

?

4

x2

，
即f(x2)+

4

x2

＜f(x1)+

4

x1

．
设h(x)＝f(x)+

4

x

＝x?1?alnx+

4

x

，
则|f(x1)?f(x2)|＜4|

1

x1

?

1

x2

|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数．
于是h′(x)＝1?

a

x

?

4

x2

＝

x2?ax?4

x2

≤0即x²-ax-4≤0在x∈（0，1]时恒成立，
从而a≥x?

4

x

在x∈（0，1]上恒成立，
而函数