Question

已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF1的

已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率的范围是______．

Answer 1

由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（

a2

c

，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点
K（

a2?c2

2c

，

m

2

 ），∴线段PF₁的斜率与 KF₂的斜率之积等于-1，∴

m?0

a2 c +c

?

m 2 ?0

a2?c2 2c ?c

=-1，
∴m²=-（

a2

c

+c）?（

a2

c

?3c）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥

1

3

，或 e²≤-1（舍去），∴e≥

3

3

．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故  

3

3

≤e＜1，故答案为[

3

3

，1）．