Question

（2005?崇明县二模）如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接

（2005?崇明县二模）如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．求证：（1）ED=DA；（2）∠EBA=∠EAB（3）BE2=AD?AC．

Answer 1

证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，（1分）
∴CD=2ED，（1分）
∵CD=2DA，
∴ED=DA；（1分）

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，（1分）
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，（1分）
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；（1分）

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，（1分）
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，（1分）
∴

AE

AC

＝

AD

AE

，（1分）
∴AE²=AD?AC，
即BE²=AD?AC．（1分）