Question

已知三角形ABC的三边长a,b,c的长均为正整数,且a≤b≤c,若b为4

已知三角形ABC的三边长a,b,c的长均为正整数,且a≤b≤c,若b为4 这样的三角形有几个？

Answer 1

b等于4.
那么a=1,2,3.
c满足a+b>c c>b c是正整数。
a=1，b=4时无解。
a=2，b=4时c=5.
a=3，b=4时c=5或6.
所以共有三种可能，有三个

Answer 2

则a只能为1或2 或3，C取无数个。因此有无数个三角形。c可取 6789 10 11 12等

Answer 3

解：
a、b均为正整数，a≤b，又b≤4，因此a只可能为1、2、3、4
三角形两边之和>第三边，两边之差<第三边。
分类讨论：
(1)
a=1时，
a+b=1+4=5，b-a=4-1=3
3<c<5，c为正整数，
c=4
三角形三边长a、b、c依次为1、4、4
(2)
a=2时，
a+b=2+4=6，b-a=4-2=2
2<c<6，c为正整数且b≤c，
c=4或c=5
三角形三边长a、b、c依次为2、4、4或2、4、5
(3)
a=3时，
a+b=3+4=7，b-a=4-3=1
1<c<7，c为正整数且b≤c，
c=4或c=5或c=6
三角形三边长a、b、c依次为3、4、4或3、4、5或3、4、6
(4)
a=4时，
a+b=4+4=8，a-b=4-4=0
0<c<8，c为正整数且b≤c，
c=4或c=5或c=6或c=7
三角形三边长a、b、c依次为4、4、4或4、4、5或4、4、6或4、4、7。
1+2+3+4=10
满足题意的三角形共有10个，边长依次为：
a=1，b=4，c=4
a=2，b=4，c=4
a=2，b=4，c=5
a=3，b=4，c=4
a=3，b=4，c=5
a=3，b=4，c=6
a=4，b=4，c=4
a=4，b=4，c=5
a=4，b=4，c=6
a=4，b=4，c=7

解题思路：
①、先由a、b为正整数，a≤b，b=4，解得a的所有可能取值。
②、对a的所求可能取值进行分类讨论。利用三角形两边之和>第三边，两边之差<第三边确定c的取值范围，再由c≥b，c为正整数，确定所有满足条件的c的值。