Question

求解一道数学题，谢谢！

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E．（1）求AC、BC的长；（不要用相似三角形）（2）若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积（π取3.14）．

数学题

Answer 1

(1)
连接DO,EO;DO=EO=2
AD,BC是圆O的切线，所以OD⊥AC，OE⊥BC,∠C=90°，
故四边形DOEC是正方形；
DC=EC=DO=EO=2;
设AD=X,则BC=9-AC=9-(AD+DC)=9-(X+2)=7-X;
DO//BC,
∴AD:AC=OD:BC
AD:(AD+DC)=OD:BC
X:(X+2)=2：(7-X)
2X+4=7X-X的平方
X的平方-5X+4=0
(X-4)(X-1)=0
X-4=0,X1=4;AC=AD+DC=4+2=6;BC=7-X=7-4=3;
X-1=0,X2=1;AC=AD+DC=1+2=3,;BC=7-X=7-1=6;
(2)
AC=3，BC=9-3=6;
AD=AC-DC=3-2=1;
阴影面积=Srt△ACB-左上角空白面积-S△ADB
=AC*BC/2-(OD*OE-OD平方*π/4)-AD*BC/2
=3*6/2-(2*2-2的平方*π/4)-1*6/2
=9-4+π-3
=2+π
≈2+3.14
=5.14

Answer 2

（1）连接OD、OE，
易证四边形CDOE是正方形，
设AD＝x，
∵AC＋BC＝9，∴BE＝5－x，
易证△OEB∽△ADO，
∴BE/OD＝OE/AD，
∴﹙5－x﹚/2＝2/x，
解之得x＝1或x＝4，
∴AC＝3，BC＝6或AC＝6，BC＝3；
（2）由AC＝3，得AD＝3－1＝2，BC＝6，
∴阴影部分的面积S＝S⊿ACB－S⊿ADB－﹙S正方形CDOE－S扇形ODE﹚
＝………
＝2＋π
≈5.14。

追问

能不能不用相似三角形证，谢谢！

Answer 3

用切线定理

Answer 4

算了，好好的相似三角形不能用，我还是不费那个脑好了