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函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)
函数f(x)=ax³+3x²+3x(a≠0),1.讨论f(x)的单调性;2.若f(x)在区间(1,2)是增函数,,求a的取值范围...
函数f(x)=ax³+3x²+3x(a≠0),1.讨论f(x)的单调性
;2.若f(x)在区间(1,2)是增函数, ,求a的取值范围 展开
;2.若f(x)在区间(1,2)是增函数, ,求a的取值范围 展开
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f(x)=ax^3+3x^2+3x
(1)f'(x)=3ax^2+6x+3=3a(x+1/a)^2-3/a+3
f'(x)=0
x=(-6±√36-36a^2)/6=(-1±√1-a)/a
∴a≥1时,f'(x)恒≥0,f(x)全R域单调递增;(f'(x)整个抛物线在x轴上方)
0<a<1时
(-∞,(-1-√1-a)/a)∪((-1+√1-a)/a,+∞),f'(x)抛物线在x轴上方,f'(x)>0,f(x)单调递增;
((-1-√1-a)/a,(-1+√1-a)/a),f'(x)抛物线在x轴下方,f'(x)<0,f(x)单调递减;
a<0时
(-∞,(-1+√1-a)/a)∪((-1-√1-a)/a,+∞),f'(x)抛物线在x轴下方,f'(x)<0,f(x)单调递减;
((-1+√1-a)/a,(-1-√1-a)/a),f'(x)抛物线在x轴上方,f'(x)>0,f(x)单调递增。
(1)f'(x)=3ax^2+6x+3=3a(x+1/a)^2-3/a+3
f'(x)=0
x=(-6±√36-36a^2)/6=(-1±√1-a)/a
∴a≥1时,f'(x)恒≥0,f(x)全R域单调递增;(f'(x)整个抛物线在x轴上方)
0<a<1时
(-∞,(-1-√1-a)/a)∪((-1+√1-a)/a,+∞),f'(x)抛物线在x轴上方,f'(x)>0,f(x)单调递增;
((-1-√1-a)/a,(-1+√1-a)/a),f'(x)抛物线在x轴下方,f'(x)<0,f(x)单调递减;
a<0时
(-∞,(-1+√1-a)/a)∪((-1-√1-a)/a,+∞),f'(x)抛物线在x轴下方,f'(x)<0,f(x)单调递减;
((-1+√1-a)/a,(-1-√1-a)/a),f'(x)抛物线在x轴上方,f'(x)>0,f(x)单调递增。
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