Question

函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0）

函数f(x)=ax³+3x²+3x（a≠0），1.讨论f（x）的单调性
；2.若f（x）在区间（1，2）是增函数， ，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=ax^3+3x^2+3x
(1)f'(x)=3ax^2+6x+3=3a(x+1/a)^2-3/a+3
f'(x)=0
x=(-6±√36-36a^2)/6=(-1±√1-a)/a
∴a≥1时,f'(x)恒≥0，f(x)全R域单调递增；（f'(x)整个抛物线在x轴上方）
0<a<1时
(-∞,(-1-√1-a)/a)∪((-1+√1-a)/a,+∞)，f'(x)抛物线在x轴上方，f'(x)>0，f(x)单调递增；
((-1-√1-a)/a,(-1+√1-a)/a),f'(x)抛物线在x轴下方，f'(x)<0，f(x)单调递减；
a<0时
(-∞,(-1+√1-a)/a)∪((-1-√1-a)/a,+∞)，f'(x)抛物线在x轴下方，f'(x)<0，f(x)单调递减；
((-1+√1-a)/a,(-1-√1-a)/a),f'(x)抛物线在x轴上方，f'(x)>0，f(x)单调递增。