Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由 （1）四边形ADEF是什么四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

Answer 1

解：（1）四边形ADEF是平行四边形． 理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形． ∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60° ∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA． ∴∠DBE=∠ABC． 在△DBE和△ABC中 ∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC， ∴△DBE≌△ABC． ∴DE=AC． 又∵△ACF是等边三角形， ∴AC=AF． ∴DE=AF． 同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形． （2）∵四边形ADEF是矩形， ∴∠FAD=90°． ∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°． ∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形． （3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．