Question

已知直线l的参数方程为 x=2+tcosα y=tsinα ，（t为参数，α为倾斜角

已知直线l的参数方程为 x=2+tcosα y=tsinα ，（t为参数，α为倾斜角，且 α≠ π 2 ）与曲线 x 2 16 + y 2 12 =1交于A，B两点．（Ⅰ）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵直线的参数方程为 x=2+tcosα y=tsinα ，（t为参数，α为倾斜角，且 α≠ π 2 ）， 所以 y x-2 = tsinα tcosα =tanα ，∴直线l的一般方程xtanα-y-2tanα=0， 直线l通过的定点P的坐标为（2，0）． （Ⅱ）∵l的参数方程为 x=2tcosα y=tsinα ，而椭圆方程为 x 2 16 + y 2 12 =1 ，右焦点坐标为P（2，0） ∴3（2+tcosα） 2 +4（tsinα） 2 -48=0，即（3+sin 2 α）t 2 +12cosαt-36=0 ∵直线l过椭圆的右焦点，∴直线与椭圆有两个交点． ∴ |PA||PB|= 36 3+ sin 2 α ，又α为倾斜角，且 α≠ π 2 ∴0≤sin 2 α＜1，∴|PA||PB|的最大值为12． 故答案为12．