已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II
已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点...
已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．
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（I）当b=2时，f（x）=lnx-
ax2-2x（x＞0），则f′(x)＝?
因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax2+2x-1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，若ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）
（II） 设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为x0＝
∵f（x2）-f（x1）=lnx2-lnx1-[
a(x2+x2)+b](x2?x1)=0
∴lnx2-lnx1=[
a(x2+x2)+b](x2?x1)
f′（x0）=
?ax0?b=
×[
?ln
]
设t＝
，则y=
?ln
=
| 1 |
| 2 |
| ax2+2x?1 |
| x |
因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax2+2x-1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，若ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）
（II） 设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为x0＝
| x1+x2 |
| 2 |
∵f（x2）-f（x1）=lnx2-lnx1-[
| 1 |
| 2 |
∴lnx2-lnx1=[
| 1 |
| 2 |
f′（x0）=
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x2?x1 |
2(
| ||
1+
|
| x2 |
| x1 |
设t＝
| x2 |
| x1 |
2(
| ||
1+
|
| x2 |
| x1 |
