Question

设函数f（x）=x2+bx-1（b∈R）（1）当b=1时证明：f（x）在区间(12，1)内存在唯一零点；（2）若当∈[1，2]

设函数f（x）=x2+bx-1（b∈R）（1）当b=1时证明：f（x）在区间(12，1)内存在唯一零点；（2）若当∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．求实数b的取值范围．

Answer 1

证明：（1）当b=1时，
f（x）=x²+x-1在区间(

1

2

，1)内单调递增
又∵f（

1

2

）=?

1

4

＜0，f（1）=1＞0
即f（

1

2

）?f（1）＜0
∴f（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一零点；
（2）∵当x∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．
即x²+bx-1＜1在[1，2]有解
即b＜

2?x2

x

=

2

x

-x在[1，2]有解
∵g（x）=

2

x

-x在[1，2]为减函数
∴b＜g（x）_max=g（1）=1
∴实数b的取值范围为（-∞，1）