Question

在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a3=17．（Ⅰ）求an+1与an的关系式；（Ⅱ）求证：

在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a3=17．（Ⅰ）求an+1与an的关系式；（Ⅱ）求证：{an+1}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n（an+1）}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，
∴

α+β＝5 5α+β＝17

解得

α＝3 β＝2.

∴a_n+1=3a_n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，∴a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵a₁=1，即a_n+1≠0，
∴

an+1+1

an+1

＝3，
∴{a_n+1}是首项为2，3为公比的等比数列．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，an+1＝2×3n?1，
∴Sn＝1×2+2×2×31+3×2×32+…+n×2×3n?1，
3Sn＝1×2×3+2×2×32+3×2×33+…+n×2×3n，
两式相减，得：2Sn＝?1×2?2×31?2×32?…?2×3n?1+n×2×3n?1
=?2?2

3?3n

1?3

+2n?3n，
∴Sn＝

3n(2n?1)+1

2

．