Question

在数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n?1)ann?an（n≥2）（1）求a3，a4；（2）猜想an的表达式，并加以证

在数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n?1)ann?an（n≥2）（1）求a3，a4；（2）猜想an的表达式，并加以证明．

Answer 1

（1）由数列{a_n}，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n?1)an

n?an

（n≥2）．
令n=2，则a₃=

a2

2?a2

=

1 4

2? 1 4

=

1

7

；
令n=3，则a4＝

2a3

3?a3

=

2× 1 7

3? 1 7

＝

1

10

．
（2）由（1）可猜想an＝

1

3n?2

(n∈N*)．
下面利用数学归纳法加以证明：
①当n=1，2，3，4时，由（1）和已知经验证可知：结论成立；
②假设当n=k（k≥4）时，结论也成立，即ak＝

1

3k?2

(k∈N*)；
那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：ak+1＝

(k?1)ak

k?ak

=

(k?1)× 1 3k?2

k? 1 3k?2

＝

k?1

(3k+1)(k?1)

=

1

3(k+1)?2

．
即当n=k+1时，结论也成立．
综上，对?n∈N^*，an＝

1

3n?2

成立．