Question

已知数列满足a1=-1,a2＞a1，|an+1-an|=2^n,若数列{a2n-1}单调递减,数列{a2n}单调递增，则通项公式an=

数学老师讲的略诡异，希望有详细过程

Answer 1

依题意，数列的奇数项单调减，偶数项单调增, 因为a2>a1, 所以有a2n>a(2n-1)
而a(2n-1)>a(2n+1),
所以也有a2n>a(2n+1)
因此由|a(n+1)-an|=2^n
有：|a(2n)-a(2n-1)|=2^(2n-1), 即a(2n)-a(2n-1)=2^(2n-1)
且: |a(2n+1)-a(2n)|=2^(2n), 即a(2n+1)-a(2n)=-2^(2n)
分别将n=1, 2, ....k代入上两式，得：
a2-a1=2^1
a3-a2=-2^2
a4-a3=2^3
a5-a4=-2^4
.......
a(2k+1)-a(2k)=-2^(2k)
以上各式相加，正负相消，得：a(2k+1)-a1=2^1-2^2+2^3-....-2^(2k)
左边即为a(2k+1)+1,
右边即为首项为2，公比为-2的2k项等比数列求和，其和为2[(-2)^2k-1]/(-2-1)=-2(4^k-1)/3
因此有a(2k+1)=-1-2(4^k-1)/3=-(1+2*4^k)/3
从而由a(2k)=a(2k+1)+2^(2k)=-(1+2*4^k)/3+4^k=(4^k-1)/3