Question

高数因式分解,f(x)=-x的7次 3x的6次-5x的5次 7x的4次-7x的3次 5x的2次-3x 1

Answer 1

f(x)=-x^7+3x^6-5x^5+7x^4-7x^3+5x^2-3x+1
当x=1，f(1)=0;(系数和=0）
所以至少有一个因子(x-1)，则
f(x)=(x-1)(-x^6+2x^5-3x^4+3x^3-4x^2+x-2)
=(1-x)(x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-x+2)
设g(x)=x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-x+2，
如果g(x)可分解因式，则说明g(x)=0有实数根；
则因为g(x)的奇次项系数小于0，偶次项系数大于0，
所以g(x)=0不会存在小于等于0的实数根；
即x>0;
g(x)=x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-x+2
=(x^6+x^4)-2x^5+(2x^4+2x^2)-3x^3+(2x^2+2)-x
>=2x^5-2x^5+4x^3-3x^3+4x-x=x^3+3x>0
所以g(x)=0无实数解，即g(x)不可以分解
所以f(x)=(1-x)(x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-x+2)