Question

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR‖BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．小题1:求点D到BC的距离DH的长；小题2:设BQ＝x, QR＝y．① 求y关于x的函数关系式（0≤x≤10）；② 是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

小题1:在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝10. 　　 ∵BC边上的高为 ，D为AB中点，　　　　　　　 　　　　　 小题1:①∵QR∥AB，△RQC∽△ABC， .　　　　 　　　　∵BQ＝x，CQ＝10－x,                  ∴ , .　　      　　　（i）当QR为底边时，QM＝y＝ ，PQ＝DH＝ ， 作PM⊥QR于M，则△PQM∽△BCA， ， ＝ .解得x 1 ＝BQ ＝ . （ii）当PR为底边时，QR＝PQ＝ ， ∵QR∥AB， ，BQ×6＝ ×10，解得CQ＝4. ∴　x 2 ＝BQ＝6. （iii）当PQ为底边时，点R在PQ的垂直平分线上，点R是CE中点. ∵ QR∥AB，∴ ，解得x 3 ＝BQ＝ . 综上所述，当 为 或6或 时， 为等腰三角形．

小题1:根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长； 小题1:①根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式； ②画出图形，根据图形进行讨论： ① 当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C． ② ∴cos∠1=cosC= = ，∴，即可求出x的值； ③ 当PQ=RQ时，- x+6= ，x=6； ④ 当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR= CE= AC=2．