Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 a=2，b=3，cosC= 1 3 ．（Ⅰ）求△ABC的面

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 a=2，b=3，cosC= 1 3 ．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C-A）的值．

Answer 1

（本小题满分13分） （Ⅰ）在△ABC中，因为 cosC= 1 3 ， 所以 sinC= 1- cos 2 C = 1- ( 1 3 ) 2 = 2 2 3 ．          …（2分） 所以， S △ABC = 1 2 ab?sinC= 1 2 ×2×3× 2 2 3 =2 2 ．    …（5分） （Ⅱ）由余弦定理可得，c 2 =a 2 +b 2 -2ab?cosC= 4+9-2×2×3× 1 3 =9 所以，c=3．              …（7分） 又由正弦定理得， c sinC = a sinA ， 所以， sinA= a?sinC c = 2× 2 2 3 3 = 4 2 9 ．    …（9分） 因为a＜b，所以A为锐角， 所以， cosA= 1- sin 2 A = 1- ( 4 2 9 ) 2 = 7 9 ．       …（11分） 所以，sin（C-A）=sinC?cosA-cosC?sinA= 2 2 3 × 7 9 - 1 3 × 4 2 9 = 10 2 27 ． …（13分）