Question

（本题满分12分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°，以 AC 为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D ，过点 D 作

（本题满分12分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°，以 AC 为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D ，过点 D 作⊙ O 的切线，交 BC 于点 E . 小题1:（1）求证：点 E 是边 BC 的中点；（4分）小题2:（2）若 EC =3， BD = ，求⊙ O 的直径 AC 的长度；（4分）小题3:（3）若以点 O ， D ， E ， C 为顶点的四边形是正方形，试判断△ ABC 的形状，并说明理由. （4分）

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Answer 1

小题1:（1）证明：连接 DO ， ∵∠ ACB =90°， AC 为直径， ∴ EC 为⊙ O 的切线， 又∵ ED 也为⊙ O 的切线， ∴ EC = ED .    （2分） 又∵∠ EDO =90°， ∴∠ BDE +∠ ADO =90°， ∴∠ BDE +∠ A =90°， 又∵∠ B +∠ A =90° ∴∠ BDE =∠ B ， ∴ EB = ED . ∴ EB = EC ，即点 E 是边 BC 的中点.    小题2:（2）∵ BC ， BA 分别是⊙ O 的切线和割线， ∴ BC 2 = BD · BA ， ∴（2 EC ） 2 = BD · BA ，即 BA · =36，∴ BA = ，   （6分） 在Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AC = = = . 小题3:（3）△ ABC 是等腰直角三角形.   （9分） 理由：∵四边形 ODEC 为正方形， ∴∠ DOC =∠ ACB =90°，即 DO ∥ BC ， 又∵点 E 是边 BC 的中点， ∴ BC =2 OD = AC ,  ∴△ ABC 是等腰直角三角形.     （12分）

（1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点； （2）解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解； （3）判定△ABC是等腰直角三角形时要用到正方形的性质来求得相等的边． （1）证明：连接DO； ∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线； 又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90° 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED， ∴EB=EC，即点E是边BC的中点； （2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线， ∴BC 2 =BD?BA， ∴（2EC） 2 =BD?BA，即BA?2 =36， ∴BA=3 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC= = = ； （3）解：△ABC是等腰直角三角形． 理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC， 又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形．