Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx（a≠0），且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx（a≠0），且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）+kx 2 在（0，4）上是增函数，求实数k的取值范围；（3）是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax 2 +bx（a≠0）的对称轴为x=- b 2a =1， ∴b=-2a， f（x）=ax 2 -2ax． 再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax 2 -2ax=x只有一个解， 故△=（2a+1） 2 -0=0， ∴a=- 1 2 ，b=1 ∴f（x）=- 1 2 x 2 +x （2）∵函数g（x）=f（x）+kx 2 =（k- 1 2 ）x 2 +x 当k- 1 2 =0，即k= 1 2 时， g（x）=x在（0，4）上是增函数，满足要求； 当k- 1 2 ＞0，即k＞ 1 2 时， 若g（x）=x在（0，4）上是增函数， 则 1 1-2k ≤0，解得k＞ 1 2 ， 当k- 1 2 ＜0，即k＜ 1 2 时， 若g（x）=x在（0，4）上是增函数， 则 1 1-2k ≥4，解得 3 8 ≤k＜ 1 2 ， 综上所述，实数k的取值范围为[ 3 8 ，+∞） （3）f（x）=- 1 2 x 2 +x=- 1 2 （x-1） 2 + 1 2 ≤ 1 2 ∵f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n] ∴3n≤ 1 2 ∴n≤ 1 6 故m＜n≤ 1 6 ∴f（x）在区间[m，n]上为增函数 ∴ f(m)=2m f(n)=3n 即 - 1 2 m 2 +m=3m - 1 2 n 2 +n=3n 即m，n为方程- 1 2 x 2 +x=3x的两根， 解- 1 2 x 2 +x=3x得x=-4，或x=0 故m=-4，n=0