Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论y=

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论y=f（x）的单调性．

Answer 1

f′（x）=1-

a

x

=

x?a

x

（x＞0）
（1）当a=2时，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是k=-1，而f（1）=1
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-1=-1（x-1），即x+y-2=0；
（2）令f′（x）=0，解得x=a
①当a≤0时，f′（x）=

x?a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
②当a＞0时，令f′（x）=

x?a

x

＞0，则x＞a，
故在区间（a，+∞）内f′（x）＞0，在区间（0，a）内f′（x）＜0．
∴当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上为增函数，在（0，a）上为减函数；
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．