Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点P是y轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点P是y轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ，当点P运动到点O时，点Q记作点B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在y轴上运动（P不与O重合）时，请说明∠ABQ的大小是定值；（3）是否存在点P，使得以A，O，Q，B为顶点的四边形是梯形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，过点B作BC⊥OA，垂足为C
∵△OAB为等边三角形，A的坐标（2，0）
∴BO=OA=2，OC=1，∠BOC=60°，
∴BC=

3

．
∴B的坐标(1，

3

)．

（2）∵△OAB与△APQ为等边三角形
∴∠BAO=∠PAQ=60°
∴∠BAQ=∠OAP，
在△APO和△AQB中，

AP＝AQ ∠PAO＝∠QAB AO＝AB

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；
（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①如图2，当点P在y轴负半轴上时，点Q在点B的左方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又∵OB=OA=2，可求得BQ=

3

，由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=

3

，
∴此时P的坐标为（0，-

3

）．

②如图3，当点P在y轴正半轴上时，点Q在B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又∵AB=2，可求得BQ=2

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2

3

，
∴此时P的坐标为（（0，2

3

）．
综上，P的坐标为P的坐标为（0，-

3

）或者为（0，2

3

）．