Question

求解高数题，作答要规范哦！

1、根据数列极限的定义证明[(n^2+a^2)^0.5]/n的极限为1
2、若Xn的极限为a，证明|Xn|的极限是|a|

最最重要的是格式！

Answer 1

【一】
当a=0时，[(n^2+a^2)^0.5]/n ≡1 ，极限为 1 ；当 a≠0 时：
① 对任意 ε>0，
要使 |√(n^2+a^2)/n-1 | < ε 成立，
即只要满足： |√(n^2+a^2) /n -1 |=|√(n^2+a^2) -n|/n
= a^2/【n(√(n^2+a^2) +n)】≤ a^2/n < ε 即：
n>a^2/ε 即可。

② 故存在 N = [a^2/ε]∈ N

③ 当 n>N 时，

④ 恒有: |√(n^2+a^2)/n-1 | < ε 成立。

∴ lim(n->∞) √(n^2+a^2)/n = 1

【二】证明：若limAn=a,则lim|An|=|a|.
证明：
① 对任意 ε>0
由：lim(n->∞) an = a , 对此ε>0 ,存在 N∈Z+ ，当 n>N 时,恒有：|an-a|<ε ,
又：||an|-|a||< |an-a| 【三角不等式】 ，故：
② 存在 N∈Z+，
③ 当 n>N 时，
④ ||an|-|a||< |an-a|< ε 恒成立。
∴lim(n->∞) |An|=|a|。