Question

如图，正方形ABCD中，E为AD中点，BD与CE交于点F，求证AF垂直BE

如图，正方形ABCD中，E为AD中点，BD与CE交于点F，求证AF垂直BE

Answer 1

设BE、AF交于O
在△AFD和△BFD中,DF=DF,AD=CD(正方形),∠ADF=∠CDF(正方形对角线平分角),
∴△AFD和△BFD全等,则∠DAF=∠DCF
在△AEB和△DEC中,AE=DE(中点),AB=DC,∠EAB=∠EDC
∴△EAB和△EDC全等,则∠ABE=∠DCE=∠DCF=∠DAF.
则有∠ABF+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90
∴∠AOB=90
∴AF垂直于BE

Answer 2

方法一：
证明：AD=DC,角ADF=角FDC=45度，DF=DF,
所以，三角形ADF全等于三角形CDF,
所以，角DCF=角DAF.
AE=ED,AB=DC,角BAE=角CDE=90度。
所以，三角形ABE全等于三角形DCE,
所以， 角AEB=角DEC,
所以,角DAF+角AEB=角DCF+角DEC=90度。
所以，AF垂直BE
方法二：
设BE、AF交于O
在△AFD和△BFD中,DF=DF,AD=CD(正方形),∠ADF=∠CDF(正方形对角线平分角),
∴△AFD和△BFD全等,则∠DAF=∠DCF
在△AEB和△DEC中,AE=DE(中点),AB=DC,∠EAB=∠EDC
∴△EAB和△EDC全等,则∠ABE=∠DCE=∠DCF=∠DAF.
则有∠ABF+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90
∴∠AOB=90
∴AF垂直于BE