Question

仔细观察下列四个等式1×2×3×4+1=25=5 2 2×3×4×5+1=121=11 2 3×4×5×6+1=361=19 2 4×5×6×7+1=8

仔细观察下列四个等式1×2×3×4+1=25=5 2 2×3×4×5+1=121=11 2 3×4×5×6+1=361=19 2 4×5×6×7+1=841=29 2 （1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么？给出你的思考过程（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．

Answer 1

（1）都是完全平方数…（3分）； （2）仍具备．也都是完全平方数…（5分）； 仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现： 1×2×3×4+1=（1×4+1） 2 2×3×4×5+1=（2×5+1） 2 3×4×5×6+1=（3×6+1） 2 4×5×6×7+1=（4×7+1） 2 5×6×7×8+1=（5×8+1） 2 … 因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1] 2 =（n 2 +3n+1） 2 ． 即，第n个等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n 2 +3n+1） 2 …（8分） （3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025． （11 2 +3×11+1） 2 =（121+33+1） 2 =155 2 =24025． ∴11×12×13×14+1=（11 2 +3×11+1） 2 ． 猜想正确 …（10分）