Question

已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且 cotA+cotC= 4 7 7 ，a+c=3．（1）求cosB

已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且 cotA+cotC= 4 7 7 ，a+c=3．（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．

Answer 1

（1）由 cotA+cotC= 4 7 7 ? sin(A+C) sinAsinC = 4 7 7 ， ∵sinAsinC=sin 2 B， sin（A+C）=sinB， ∴ sinB sin 2 B = 4 7 7 sinB= 7 4 ，…（5分） 由a、b、c成等比数列， 知b 2 =ac， 且b不是最大边， ∴ cosB= 1- sin 2 B = 1- ( 7 4 ) 2 = 3 4 ，…（6分） （2）由余弦定理 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB， 得 ac= a 2 + c 2 -2ac? 3 4 =(a+c ) 2 - 7 2 ac ， 得ac=2，…（11分） ∴ S △ABC = 1 2 acsinB= 7 4 ．…（12分）