Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-（m+1）x+m（m是常数）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-（m+1）x+m（m是常数）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A、B两点在原点两侧． （1）求A、B两点的坐标（可用含m的代数式表示）；（2）若S△ABC=6，求抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，试判断△ACD的形状，并求tan∠ACB的值．

Answer 1

（1）令y=0，则x²-（m+1）x+m=0，
∴x₁=m，x₂=1，
∵点A在点B左侧，且A、B两点在原点两侧．
∴A（m，0）B（1，0）；

（2）抛物线与y轴交于点C（0，m），
∵A、B两点在原点两侧，
∴m＜0，
∴|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，
∵S_△ABC=6，
∴

1

2

(1?m)(?m)＝6，
∴m=-3，m=4（舍去），
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（3）抛物线的顶点D（-1，-4），
AD=2

5

，AC＝3

2

，DC＝

2

，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ACD是直角三角形，
过点B作BE⊥AC于点E，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB=4，
∴AE=BE=2

2

，EC＝AC?AE＝

2

，
∴tan∠ACB=

BE

EC

＝

2 2

2

＝2．