Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝ ，M，N分别为

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝ ，M，N分别为PB，PD的中点． (1)证明：MN∥平面ABCD；(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

Answer 1

(1)只需证 MN∥BD；(2) 。

试题分析：(1)如图，连接雹陪橡BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD. 又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD. (2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2 )，M ，N( ，0， )，C( ，3,0)． 设Q(x，y，z)，则C ＝(x－ ，y－3，z)，C ＝(－ ，－3，2 )． ∵C ＝λC ＝(－ λ，－3λ，2 λ)，∴Q( － λ，3－3λ，2 λ)． 由A ⊥乱塌C ?A ·C ＝0，得λ＝ .即：Q 对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)． ∵A ＝ ，A ＝( ，0， )． 则 ? ? ∴n＝ . 同理对于平面QMN，得其法向量为v＝ 记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，则cosθ＝ . ∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为 . 点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②源旁向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。