Question

函数f（x）对任意的x，y含于R，f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时f(x)<0，f（1）=2/3。 求证f（x）是R上的减函数。

函数f（x）对任意的x，y含于R，f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时f(x)<0，f（1）=2/3。
求证f（x）是R上的减函数。求f（x）在【-3,3】上的最大值和最小值。

Answer 1

是f（1）=-2/3的
1.在R上取x1,x2,且x2>x1，令x2-x1=z所以z>0
∵任意x、y属于实数恒有f(x)+f(y)=f(x+y)
∴f(x1)+f(z)=f(x1+z)=f(x2)
∵当x大于0时，f(x)小于0，且z>0
∴f(z)<0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)是R上的减函数

2.∵f(x)是R上的减函数
∴x在[-3,3]上使最大值即为x取-3的时候，最小值即为x取3的时候
f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=-2/3*3=-2
∵f(1)+f(0)=f(1+0)=f(1),所以f(0)=0
∴f(3)+f(-3)=f(3-3)=f(0)=0
∴f(-3)=-f(3)=2
∴最大值为2，最小值为-2

如果您有不明白的,请发短消息给我

Answer 2

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵当x>0时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -2/3，
<题目中f(1)=2/3与当x>0时，f(x)<0矛盾，我改成了f(1)= -2/3>

令x=y=1，得f(2)= -4/3，
再令x=1，y=2，得f(3)= -2，∴f(-3)= -f(3)= 2，

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-3，3]上为减函数，
最大值为f(-3)= -2，最小值为f(3)=2.

Answer 3

题有问题。
因为第一问可证：当y=0时，f(x)+f(O)=F(X),所以F(0)=0。
所以，x>0,F(x)<0=F(0),所以为减函数
由第一问函数为减函数，f(0)=0,咋可能F(1)=2/3。
如果我说得对请给分

Answer 4

当x>0时f(x)<0，f（1）=2/3。这里不是矛盾吗？