已知函数f(x)=x2-4x+3(1)当x∈[-1,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若关于x的方程|f(x)|-a=0有三
已知函数f(x)=x2-4x+3(1)当x∈[-1,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若关于x的方程|f(x)|-a=0有三个不相等的实数根,求实数a的值;(3)已知t...
已知函数f(x)=x2-4x+3(1)当x∈[-1,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若关于x的方程|f(x)|-a=0有三个不相等的实数根,求实数a的值;(3)已知t>0,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值.
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(1)当x∈[-1,3]时,由于函数f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,它的对称轴为x=2.
故当x=2时,函数取得最小值为f(2)=-1,故当x=-1时,函数取得最大值为f(-1)=-8,
故函数的值域为[-1,8].
(2)关于x的方程|f(x)|-a=0有三个不相等的实数根,∴函数y=|f(x)|的图象和直线y=a有3个交点.
数形结合可得,a=1.
(3)已知t>0,①当t+1<2时,即t<1时,函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,
故当x=t+1时,函数取得最小值为 f(t+1)=t2-2t.
②当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2时,当x=2时,函数取得最小值为 f(2)=-1.
③当t>2时,函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,
故当x=t时,函数取得最小值为 f(t)=(t-2)2-1.
综上可得,函数的最小值为 fmin(x)=
.
故当x=2时,函数取得最小值为f(2)=-1,故当x=-1时,函数取得最大值为f(-1)=-8,
故函数的值域为[-1,8].
(2)关于x的方程|f(x)|-a=0有三个不相等的实数根,∴函数y=|f(x)|的图象和直线y=a有3个交点.
数形结合可得,a=1.
(3)已知t>0,①当t+1<2时,即t<1时,函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,
故当x=t+1时,函数取得最小值为 f(t+1)=t2-2t.
②当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2时,当x=2时,函数取得最小值为 f(2)=-1.
③当t>2时,函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,
故当x=t时,函数取得最小值为 f(t)=(t-2)2-1.
综上可得,函数的最小值为 fmin(x)=
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