Question

（2014?马鞍山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=25，A

（2014?马鞍山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=25，AB=PB=4，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）E是侧棱PC上一点，记PEPC=λ，当PB⊥平面ADE时，求实数λ的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AD=2，AB=4，∠BAD=60°，
∴由余弦定理求得BD＝2

3

．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB．…6分
（Ⅱ）解：作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，
由EF∥BC∥AD可知A，D，E，F四点共面，
连接DF，所以由（Ⅰ）的结论可知，PB⊥平面ADE当且仅当PB⊥DF．
在△PBD中，由PB=4，BD＝2

3

，PD＝2

5

，
余弦定理求得cos∠BPD＝

3

2 5

，
∴在RT△PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，
因此λ＝

PE

PC

＝

PF

PB

＝

3

4

．…12分．