Question

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．（1）如图①，求证：S△ABDS△ACD＝ABAC；（2）如图②，若BD=CD，求证：A

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．（1）如图①，求证：S△ABDS△ACD＝ABAC；（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．

Answer 1

解：（1）如图①，证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴

S△ABD

S△ACD

＝

1 2 AB?DE

1 2 AC?DF

＝

AB

AC

；

（2）∵BD=CD，∴S_△ABD=S_△ACD
由（1）的结论

S△ABD

S△ACD

＝

AB

AC

，
∴

AB

AC

＝1，
∴AB=AC；

（3）如图③，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵S△ABD＝

1

2

BD?AE，S△ACD＝

1

2

DC?AE，
∴

S△ABD

S△ACD

＝

BD

DC

由（1）的结论

S△ABD

S△ACD

＝

AB

AC

，
∴

BD

DC

＝

AB

AC

＝

5

4

，
∴BD=

10

3

，DC=

8

3

．