Question

如图所示，MN与PQ是两条水平放置彼此平行的光滑金属导轨，导轨间距为l=0.5m．质量m=1kg，电阻r=0.5Ω的金

如图所示，MN与PQ是两条水平放置彼此平行的光滑金属导轨，导轨间距为l=0.5m．质量m=1kg，电阻r=0.5Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感线垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B=2T，导轨左端接阻值R=2Ω的电阻，导轨电阻不计．t=0时刻ab杆受水平拉力F的作用后由静止开始向右作匀加速运动，第4s末，ab杆的速度为v=2m/s，重力加速度g=10m/s2．求：（1）4s末ab杆受到的安培力FA的大小；（2）若0-4s时间内，电阻R上产生的焦耳热为0.4J，求这段时间内水平拉力F做的功；（3）若第4s末以后，拉力不再变化，且知道4s末至ab杆达到最大速度过程中通过杆的电量q=1.6C，则ab杆克服安培力做功WA为多大？

Answer 1

（1）第4s末，ab杆的感应电动势为：E=Blv
感应电流为：I=

E

R+r

安培力大小为：F_A=BIl
联立以上三式得：FA＝

B2l2v

R+r

＝

22×0.52×2

2+0.5

N＝0.8N
（2）由电阻R上产生的焦耳热表达式知：
Q=I²Rt知，
ab杆产生的焦耳热应为：
Q′=I²rt，
故Q′＝

r

R

Q＝

0.5

2

×0.4J＝0.1J
设外力做功为W，安培力做功为W′_A，由动能定理得：W-W′_A=

1

2

mv²
而W′_A=Q+Q′=0.5J
故，W=Q+Q′+

1

2

mv²=0.5+

1

2

×1×22J＝2.5J
（3）设4s末外力大小为F′，由牛顿第二定律得：
F′-F_A=ma=m

v

t

所以，F′=FA+

mv

t

＝0.8+

1×2

4

N＝1.3N…①
ab杆达到最大速度为v_m，此时加速度为零，故有：
F′=F′_A=

B2l2vm

R+r

所以，vm＝

F′(R+r)

B2l2

＝

1.3×(2+0.5)

22×0.52

m/s＝3.25m/s…②
设4s末至ab杆达到最大速度过程中位移为x，时间为t′，则4s末至ab杆达到最大速度过程中通过杆的电量为：
q=

.

I

t′=

. E

R+r

t′=

△?

(R+r)t′

×t′＝

Bxl

R+r

所以，x=

q(R+r)

Bl

＝

1.6(2+0.5)

2×0.5

m＝4m…③
对于ab杆运动从静止到达到最大速度的总过程，由动能定理可得：
F′x+W-WA＝

1

2

mv

2 m

…④
由①②③④得，W_A=F′x+W-

1

2

mv

2 m

=1.3×4+2.5?

1

2

×1×3.252J=2.42J
答：（1）4s末ab杆受到的安培力F_A的大小为0.8N；
（2）这段时间内水平拉力F做的功2.5J；
（3）ab杆克服安培力做功W_A为2.42J