Question

如图所示，一个半径R=1.0m的螺旋形光滑圆轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与竖直方向

如图所示，一个半径R=1.0m的螺旋形光滑圆轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与竖直方向夹角θ=60°．C为外圆轨道最低点，E为内圆轨道最低点，D为轨道最高点．一个质量为m=0.50kg的小球（视为质点）从空中A点以v0=4.0m/s的速度水平抛出，恰好从外轨道的B端沿切线方向进入．小球经过最高点D后，沿圆周经过最低点E进入左侧一倾斜角为37°，动摩擦因数μ=0.5倾斜直轨道EF，轨道EF足够长．其中圆轨道与倾斜直轨道EF以微小圆弧相接．不计此处的碰撞能量损失．重力加速度g取m/s2．试求：（1）小球抛出点A距水平地面的高度h；（2）小球到达轨道最高点D时对轨道的压力FD；（3）小球从第一次进入倾斜直轨道EF后，能否返回与O点同一水平高度轨道上的P点？如果不能，还可以有多少次通过圆轨道上距水平地面高为0.02m的某一点．

Answer 1

（1）小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球的末速度应该沿着B点切线方向，
将平抛末速度进行分解，根据几何关系得：
B点速度在竖直方向的分量：v_y=v₀tan60°=4×

3

=4

3

m/s；                       
竖直方向的分运动为自由落体运动．h＝

v 2 y

2g

＝

48

20

＝2.4m                    
（2）设小球能到达D点，根据机械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 D

＝

1

2

m

v

2 0

+mg(h?R?Rcosθ)
解得vD＝

34

＞

gR

，即小球能到达D点．                               
根据牛顿定律，有F′D+mg＝

m v 2 D

R

代入数据，解得小球受到的压力F'_D=12N
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为F_D=F'_D=12N，方向竖直向上．     
（3）设小球到达左侧最高点为h；则有机械能守恒定律可知：
mg2R-mgh-μmgh'cos37°

1

sin37°

=-

1

2

mv_D²；
解得h'=2.22m；
再由左侧最高点到P点，由动能定理可知：
mgh'-μmgh'cos37°

1

sin37°

-mgR=

1

2

mv_P²；
解得：v_P=2.1m/s；
故小球能回到P点；
答：（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h是2.4m．
（2）小球能到达D点，对D点的压力是12N，方向竖直向上．
（3）小球能回到P点．