Question

已知函数f（x）=2x+ a x ，且f（1）=1 （1）求a的值；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f

已知函数f（x）=2x+ a x ，且f（1）=1 （1）求a的值；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer 1

（1）∵f（1）=1， ∴2+a=1，得a=-1 （2）函数的定义域是{x|x≠1} 又f（-x）=-2x- a x =-（2x+ a x ）=-f（x），所以，函数是奇函数 （3）由（1）f（x）=2x- 1 x ，此函数在（1，+∞）上是增函数 任取1＜x 1 ＜x 2 ＜+∞， f（X 1 ）-f（x 2 ）=（2 x 1 - 1 x   1 ）-（2x 2 - 1 x   2 ）= (2x   1 x   2 +1)(x   1 -x   2 )    x   1 x   2 由于1＜x 1 ＜x 2 ＜+∞，可得2x 1 x 2 +1＞0，x 1 -x 2 0 ∴f（X 1 ）-f（x 2 ）= (2x   1 x   2 +1)(x   1 -x   2 )    x   1 x   2 ＜0， ∴f（X 1 ）＜f（x 2 ） ∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．