Question

数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．（1）若数列{an}的公

数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．（1）若数列{an}的公差d等于首项a1，试用数学归纳法证明：对于任意n∈N*，都有Sn=b1an+34d；（2）若数列{an}满足：3a5=8a12＞0，试问n为何值时，Sn取得最大值？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：当n=1时，S₁=b₁，

b1a4

4d

=

b1(d+3d)

4d

=b₁，原式成立．（1分）
假设当n=k时，S_k=

bkak+3

4d

成立，（2分）
则S_k+1=S_k+b_k+1=

bkak+3+bk+14d

4d

（4分）
=

akak+1ak+2ak+3+bk+14d

4d

=

akbk+1+bk+14d

4d

=

bk+1(ak+4d)

4d

=

bk+1ak+4

4d

（6分）
所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意n∈N*，都有S_n=

b1an+3

4d

（8分）
（2）因为3a₅=8a₁₂＞0，所以3a₅=8（a₅+7d），a₅=-

56d

5

＞0，所以d＜0
又a₁₆=a₅+11d=-

d

5

＞0，a₁₇=a₅+12d=

4d

5

＜0，（11分）
所以a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，
因为b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，（13分）
a₁₅=a₅+10d=-

6d

5

＞0，a₁₈=a₅+13d=

9d

5

＜0，
所以a₁₅＜-a₁₈，所以b₁₅＞-b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0，（15分）
故S₁₆＞S₁₄，所以S_n中S₁₆最大．（16分）