Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c满足： f(- 1 4 +x)=f(- 1 4 -x) ，且f（x）＜2x的解集

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c满足： f(- 1 4 +x)=f(- 1 4 -x) ，且f（x）＜2x的解集为 (-1， 3 2 ) （1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）-mx（m∈R），若g（x）在x∈[-1，2]上的最小值为-4，求m的值．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）=ax 2 +bx+c满足f（- 1 4 +x）=f（- 1 4 -x） ∴函数的图象关于直线x=- 1 4 对称，可得- b 2a =- 1 4  即a=2b …① 又∵不等式f（x）＜2x，即ax 2 +（b-2）x+c＜0的解集为（-1， 3 2 ） ∴方程ax 2 +（b-2）x+c=0的两根分别为x 1 =-1，x 2 = 3 2 且a＞0． 根据根与系数的关系，得 -1+ 3 2 =- b-2 a -1× 3 2 = c a …② 联解①②得：a=2，b=1，c=-3 ∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2x 2 +x-3 （2）函数g（x）=2x 2 +（1-m）x-3图象的对称轴方程为：x= m-1 4 ①当 m-1 4 ＜-1时，即m＜-3时，g（x） min =g（-1）=m-2 由m-2=-4  得m=-2＞-3不符合题意 ②当-1≤ m-1 4 ≤2时，即-3≤m≤9时，g（x） min =g（ m-1 2 ）=-4， 解得：m=1 + . 2 ∈[-3，9]，符合题意 ③当 m-1 4 ＞2时，即m＞9时，g（x） min =g（2）=7-2m 由7-2m=-4 得m= 11 2 ＜5．不符合题意 综上所述，符合题意的实数m的值为1 + . 2 ．