Question

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-l，(Ⅰ)当a=-l时，求f(x)在[e，e 2 ]（e=2.718 28…）上的值

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-l，(Ⅰ)当a=-l时，求f(x)在[e，e 2 ]（e=2.718 28…）上的值域；(Ⅱ)若f(x)≤e-l对任意x∈[e，e 2 ] 恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=-l时，f（x）=x-Inx， 得 ， 令 ，即 ，解得：x＞1， 所以函数f（x）在（1，+∞）上为增函数， 据此，函数f（x）在[e，e 2 ]上为增函数， 而f(e)=e-1，f（e 2 ）=e 2 -2， 所以，函数f(x)在[e，e 2 ]上的值域为[e-1，e 2 -2]； （Ⅱ）由 ，令 ，得 ，即x=-a， 当x∈（0，-a）时，f′(x)＜0，函数f（x）在（0，-a）上单调递减； 当x∈（-a，十∞）时，f′(x)＞0，函数f(x)在（-a，+∞）上单调递增； 若1≤-a≤e，即-e≤a≤-1，易得函数f(x)在[e，e 2 ]上为增函数， 此时，f(x) max =f(e 2 )，要使f（x）≤e-1对x∈[e，e 2 ]恒成立， 只需 f(e 2 )≤e-1即可， 所以，有 ，即 ； 而 ， 即 ，所以，此时无解； 若e＜-a＜e 2 ，即-e＞a＞-e 2 ，易知函数f(x)在[e，-a]上为减函数，在[-a，e 2 ]上为增函数， 要使f(x)≤e-l对x∈[e，e 2 ]恒成立， 只需 ，即 ， 由 和 ， 得 ； 若-a≥e 2 ，即a≤-e 2 ，易得函数f(x)在[e，e 2 ]上为减函数， 此时，f(x) max =f（e）， 要使f(x)≤e-1对x∈[e，e 2 ] 恒成立， 只需 f(e)≤e-l即可，所以有e+a≤e-1，即a≤-1， 又因为a≤-e 2 ，所以a≤-e 2 ； 综合上述，实数a的取值范围是 。