Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF= =1． （Ⅰ）求

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF= =1． （Ⅰ）求证：CE//平面ABF；（Ⅱ）求证：BE⊥AF；（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为 ？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（I）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在BC上存在点M，且|CM|= ．

试题分析：（I）将直角梯形ABCD补为长方形（补为长方形，一切都好办了！），如图，作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，由三角形的中位线可得BH∥CE，从而得CE∥面ABF． （Ⅱ）空间中证线线垂直，一般先证线面垂直.那么在本题中，证哪条线垂直哪个面？结合（I）题易得BG⊥AF，AF⊥EG，由此得 AF⊥平面BGE，从而 AF⊥BE．（Ⅲ）思路一、由于AG、AE、AD两两垂直，故以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz．假设M(1，y 0 ，0)，然后看利用二面角E-MD-A的大小为 能否求出y 0 ，若能求出y 0 ，则存在；不能求出y 0 ，则不存在. 思路二、作出二面角的平面角也可. 试题解析：（I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG， ∵EF∥CD且EF=CD， ∴AG∥CD， 即点G在平面ABCD内． 由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG， ∴四边形AEFG为正方形， CDAG为平行四边形，                      2分 ∴H为EG的中点，B为CG中点， ∴BH∥CE， ∴CE∥面ABF．                        4分 （Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG中，∠ADC=90º， ∴BG⊥AG． 又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG， ∴BG⊥面AEFG， ∴BG⊥AF．                          6分 又∵AF⊥EG， ∴AF⊥平面BGE， ∴AF⊥BE．                          8分 （Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz． 则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y 0 ，0)， ∴ ， ， 设面EMD的一个法向量 ， 则 令y=1，得 ， ∴ ．                      10分 又∵ ， ∴ 为面AMD的法向量， ∴ ， 解得 ， 故在直线BC上存在点M，且|CM|=| |= ．         12分 法二、作 ，则 ，由等面积法得： .