Question

设ξ1，ξ2，ξ3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（　　）A．ξ1-ξ3

设ξ1，ξ2，ξ3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（　　）A．ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3B．ξ1-ξ2-ξ3，ξ2，ξ3-ξ1C．ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1D．ξ1，3ξ3，ξ1-2ξ2

Answer 1

由题意，ξ₁，ξ₂，ξ₃的任意线性组合都是AX=0的解向量，因此只需判断四个选项的向量组是否线性无关即可．
①选项A．由于{ξ₁-ξ₃，ξ₁+ξ₂+ξ₃，ξ₂+2ξ₃}={ξ₁，ξ₂，ξ₃}

1 1 0 0 1 1 ?1 1 2

={ξ₁，ξ₂，ξ₃}A
而|A|=

.

1 1 0 0 1 1 ?1 1 2

.

＝0，因此r{ξ₁-ξ₃，ξ₁+ξ₂+ξ₃，ξ₂+2ξ₃}≤r（A）＜3
∴{ξ₁-ξ₃，ξ₁+ξ₂+ξ₃，ξ₂+2ξ₃}线性相关
故A错误．
②选项B．由于{ξ₁-ξ₂-ξ₃，ξ₂，ξ₃-ξ₁}={ξ₁，ξ₂，ξ₃}

1 0 ?1 ?1 1 0 ?1 0 1

={ξ₁，ξ₂，ξ₃}A
而|A|＝

.

1 0 ?1 ?1 1 0 ?1 0 1

.

＝0，因此r{ξ₁-ξ₃，ξ₁+ξ₂+ξ₃，ξ₂+2ξ₃}≤r（A）＜3
∴{ξ₁-ξ₃，ξ₁+ξ₂+ξ₃，ξ₂+2ξ₃}线性相关．
故B错误；
③选项C．由于{ξ₁-ξ₂，ξ₂-ξ₃，ξ₃-ξ₁}={ξ₁，ξ₂，ξ₃}

1 0 ?1 ?1 1 0 0 ?1 1

={ξ₁，ξ₂，ξ₃}A
而|A|＝

.

1 0 ?1 ?1 1 0 0 ?1 1

.

＝0，因此r{ξ₁-ξ₂，ξ₂-ξ₃，ξ₃-ξ₁}≤r（A）＜3
∴{ξ₁-ξ₂，ξ₂-ξ₃，ξ₃-ξ₁}线性相关．
故C错误；
④选项D．由于{ξ₁，3ξ₃，ξ₁-2ξ₂}={ξ₁，ξ₂，ξ₃}

1 0 1 0 0 1 0 3 0

={ξ₁，ξ₂，ξ₃}A
而|A|＝

.

1 0 1 0 0 1 0 3 0

.

＝?3≠0，因此r{ξ₁，3ξ₃，ξ₁-2ξ₂}=r{ξ₁，ξ₂，ξ₃}=3
∴{ξ₁，3ξ₃，ξ₁-2ξ₂}线性无关
故D正确．
故选：D．