Question

如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且满足m2+n2+2m-8n

如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且满足m2+n2+2m-8n+17=0．P为线段AB上的一个动点．PO⊥CO，PO=CO．（1）判断△ABO的形状；（2）求四边形PBCO的面积；（3）设C（a，b），写出a，b满足的关系式．

Answer 1

解：（1）∵m²+n²+2m-8n+17=（m+1）²+（n-4）²=0，

∴m=-1，n=4，

∴y=-x+4，

∴A（4，0），B（0，4），即OA=OB=4，

∵∠AOB=90°，

∴△ABO为等腰直角三角形；


（2）∵∠BOC+∠BOP=90°，∠BOP+∠AOP=90°，

∴∠BOC=∠AOP，

在△AOP和△BOC中，

OP＝OC ∠AOP＝∠BOC OA＝OB

，

∴△AOP≌△BOC（SAS），

∴S_{四边形PBCO}=S_△BOC+S_△BOP=S_△AOP+S_△BOP=S_△AOB=

1

2

×4×4=8；


（3）如图，分别过C、P两点作x轴的垂线，垂足为D、E，

∵∠COD+∠POE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∴∠POE=∠OCD，
在△CDO和△OEP中，

∠CDO＝∠OEP＝90° ∠OCD＝∠POE OC＝OP

，

∴△CDO≌△OEP（AAS），

∴OE=CD=b，PE=OD=-a，

∴P（b，-a），

∴-a=-b+4，即b=a+4．